(2007•浦東新區(qū)一模)由函數(shù)y=f(x)確定數(shù)列{an},an=f(n),若函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)y=f-1(x)能確定數(shù)列{bn},bn=f-1(n),則稱數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的“反數(shù)列”.
(1)若函數(shù)f(x)=2
x
確定數(shù)列{an}的反數(shù)列為{bn},求bn;
(2)設(shè)cn=3n,數(shù)列{cn}與其反數(shù)列{dn}的公共項組成的數(shù)列為{tn}
(公共項tk=cp=dq,k、p、q為正整數(shù)).求數(shù)列{tn}前10項和S10;
(3)對(1)中{bn},不等式
1
bn+1
+
1
bn+2
+…+
1
b2n
1
2
loga(1-2a)
對任意的正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)a的范圍.
分析:(1)由f(x)=2
x
(x≥0),知an=2
n
(n為正整數(shù)),f-1(x)=
x2
4
(x≥0),由此能求出數(shù)列{an}的反數(shù)列{bn}的通項.
(2)由cn=3n,dn=log3n,知3p=log3q,所以tn=3n,由此能求出{tn}的前n項和.
(3)由
2
n+1
+
2
n+2
+…+
2
2n
1
2
loga(1-2a)
對任意正整數(shù)n恒成立,設(shè)Tn=
2
n+1
+
2
n+2
+…+
2
2n
,Tn+1-Tn=
2
2n+1
+
2
2(n+1)
-
2
n+1
=
2
2n+1
-
2
2n+2
>0
,數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增,所以(Tnmin=T1=1,要使不等式恒成立,只要1>
1
2
loga(1-2a)
.由此能求出使不等式對于任意正整數(shù)恒成立的a的取值范圍.
解答:解:(1)f(x)=2
x
(x≥0)⇒an=2
n
(n為正整數(shù)),
f-1(x)=
x2
4
(x≥0)
所以數(shù)列{an}的反數(shù)列{bn}的通項bn=
n2
4
(n為正整數(shù)).
(2)cn=3n,dn=log3n,
3p=log3q,
q=33p
有{cn}?{dn},tn=3n,
所以{tn}的前n項和S10=
3
2
(310-1)

(3)對于(1)中{bn},
不等式化為:
2
n+1
+
2
n+2
+…+
2
2n
1
2
loga(1-2a)
,
對任意正整數(shù)n恒成立,
設(shè)Tn=
2
n+1
+
2
n+2
+…+
2
2n
,
Tn+1-Tn=
2
2n+1
+
2
2(n+1)
-
2
n+1
=
2
2n+1
-
2
2n+2
>0
,
數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增,
所以(Tnmin=T1=1,
要使不等式恒成立,
只要1>
1
2
loga(1-2a)

∵1-2a>0,∴0<a<
1
2

1-2a>a2,0<a<
2
-1

所以,使不等式對于任意正整數(shù)恒成立的a的取值范圍是:(0,
2
-1)
點評:本題考查數(shù)列和不等式的綜合運用,解題時要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)若該景區(qū)游客消費總額不低于400000元時,求景區(qū)游客人數(shù)的范圍.
(Ⅱ)當(dāng)景區(qū)游客的人數(shù)為多少人時,游客的人均消費最高?并求游客的人均最高消費額.

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(2007•浦東新區(qū)一模)若α∈{-1,-3,
1
3
,2}
,則使函數(shù)y=xα的定義域為R且在(-∞,0)上單調(diào)遞增的α值為
1
3
1
3

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(2)設(shè)函數(shù)f(x)=log2(1-2x),求f(x)的反函數(shù)f-1(x),并判斷f(x)是否是M的元素;
(3)f(x)=
axx+b
∈M(a<0),求使f(x)<1成立的x的范圍.

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2
2
年.

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