Question

【題目】給定函數(shù)、，定義.

（1）證明：；

（2）若，，證明：是周期函數(shù)；

（3）若，，，，，證明：是周期函數(shù)的充要條件是為有理數(shù).

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）運(yùn)用新定義，去絕對(duì)值，即可得證；

（2）由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期，即可得證；

（3）運(yùn)用周期函數(shù)的定義，結(jié)合和差化積公式，即可得證．

證明：（1）由F（f（x），g（x）），

f（x）≥g（x）時(shí)，f（x），

f（x）＜g（x）時(shí)，g（x），

則F（f（x），g（x））；

（2）f（x）＝sin2x﹣cosx，g（x）＝sin2x+cosx，

F（f（x），g（x））sin2x+|cosx|，

由F（f（x+π），g（x+π））＝sin（2x+2π）+|cos（x+π）|＝sin2x+|cosx|

＝F（f（x），g（x）），即F（f（x），g（x））是最小正周期為π的周期函數(shù)；

（3）f（x）+g（x）是周期函數(shù)x∈R，T≠0，f（x+T）+g（x+T）＝f（x）+g（x）恒成立

A1sinω1（x+T）+A2sinω2（x+T）＝A1sinω1x+A2sinω2x，

由A1[sinω1（x+T）﹣sinω1x]+A2[sinω2（x+T）﹣sinω2x]＝0，

可得sinω1（x+T）﹣sinω1x＝0，sinω2（x+T）﹣sinω2x＝0，

即2cos（ω1xω1T）sinω1T＝0，2cos（ω2xω2T）sinω2T＝0，

由x∈R，可得sinω1T＝，sinω2T＝0，

即有ω1T＝kπ，k∈Z；ω2T＝mπ，m∈Z，k，m≠0，

即有為有理數(shù)，

可得f（x）+g（x）是周期函數(shù)的充要條件是為有理數(shù)．