Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：對任意的x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＞0．則當(dāng)n∈N^*時，有

1. A.
   f（-n）＜f（n-1）＜f（n+1）
2. B.
   f（n-1）＜f（-n）＜f（n+1）
3. C.
   f（n+1）＜f（-n）＜f（n-1）
4. D.
   f（n+1）＜f（n-1）＜f（-n）

Answer 1

C
分析：由“x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＞0”可等有“x₂＞x₁時，f（x₂）＞f（x₁）”，符合增函數(shù)的定義，所以f（x）在（-∞，0]為增函數(shù)，再由f（x）為偶函數(shù)，則知f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，
由n+1＞n＞n-1＞0，可得結(jié)論．
解答：x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＞0
∴x₂＞x₁時，f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（-∞，0]為增函數(shù)
∵f（x）為偶函數(shù)
∴f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)
而n+1＞n＞n-1＞0，
∴f（n+1）＜f（n）＜f（n-1）
∴f（n+1）＜f（-n）＜f（n-1）
故選C．
點評：本題主要考查單調(diào)性定義的變形與應(yīng)用，還考查了奇偶性在對稱區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)論是：偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)相反，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同．