Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足：
（1）f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）cos2x₂+4asin²x₂（x₁，x₂∈R，a為常數(shù)）；
（2）f（0）=f（

π

4

）=1；
（3）當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，|f（x）|≤2
求：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）常數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題中的關(guān)系式和已知的函數(shù)值，分別給x₁和x₂三組值，必須與0以及

π

4

有關(guān)，列出三個(gè)方程構(gòu)成一個(gè)方程組，對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，再利用倍角公式和兩角和差的正弦（余弦）公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）由x的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出sin（2x+

π

4

）的范圍，根據(jù)a與1的大小進(jìn)行分類求解，去掉絕對(duì)值利用平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解，最后要把結(jié)果并在一起．

解答：解：（Ⅰ）在f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）cos2x₂+4asin²x₂中，
分別令

x1=0 x2=x

；

x1= π 4 +x x2= π 4

；

x1= π 4 x2= π 4 +x

得

f(x)+f(-x)=2cos2x+4asin2x① f( π 2 +x)+f(x)=2a② f( π 2 +x)+f(-x)=2cos( π 2 +2x)+4asin2( π 4 +x)③

由①+②-③，得
2f（x）=2a+2cos2x-2cos（

π

2

+2x）+4a（

1-cos2x

2

）-4a（

1-cos2( π 4 +x)

2

）
=2a+2（cos2x+sin2x）-2a（cos2x+sin2x）
∴f（x）=a+

2

（1-a）sin（2x+

π

4

）
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，則

π

4

≤2x≤

3π

4

，∴sin（2x+

π

4

）∈[

2

2

，1]．
∵|f（x）|≤2，
（1）當(dāng)a＜1時(shí)，-2≤a+

2

[

2

2

（1-a）]≤f（x）≤a+

2

（1-a）≤2．
即1-

2

≤（1-

2

）a≤2-

2

，解得-

2

≤a≤1，
故a的取值范圍[-

2

，1）．
（2）當(dāng)a≥1時(shí)，-2≤a+

2

（1-a）≤f（x）≤1．即-2-

2

≤（1-

2

）a≤1-

2

，
解得1≤a≤4+3

2

．
綜上，滿足條件a的取值范圍[-

2

，4+3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題是有關(guān)三角函數(shù)的較難的綜合題，求函數(shù)解析式時(shí)根據(jù)題意給兩個(gè)變量適當(dāng)?shù)闹担�列出有關(guān)f（x）的幾個(gè)方程，通過觀察進(jìn)行化簡(jiǎn)求出解析式，還利用倍角公式和兩角和差的正弦（余弦）公式；求解絕對(duì)值不等式時(shí)需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出正弦值的范圍，從而列出關(guān)于a的不等式進(jìn)行求解，考查了分析問題和解決問題的能力．