【題目】已知函數(shù)f(x)= ﹣aln(1+x)(a∈R),g(x)=x2emx(m∈R).
(1)當(dāng)a=1,求函數(shù)f(x)的最大值
(2)當(dāng)a<0,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x1 , x2∈[0,2],f(x1)+1≥g(x2)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:當(dāng)a=1時(shí),f(x)= ﹣aln(1+x)= ,
f′(x)= (x>﹣1),
當(dāng)x∈(﹣1,0)時(shí),f′(x)>0,f(x)為增函數(shù),當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)為增函數(shù).
∴f(x)max=f(0)=0;
(2)解:令h(x)=f(x)+1,
當(dāng)a<0,對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,x2∈[0,2],f(x1)+1≥g(x2)恒成立,
即當(dāng)a<0,對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,x2∈[0,2],h(x1)≥g(x2)恒成立,
等價(jià)于當(dāng)a<0時(shí),對(duì)任意的x1,x2∈[0,2],hmin(x)≥gmax(x)成立,
當(dāng)a<0時(shí),由h(x)= ﹣aln(1+x)+1,得h′(x)= = (x>﹣1),
當(dāng)x∈(﹣1,1﹣a)時(shí),h′(x)>0,h(x)為增函數(shù),當(dāng)x∈(1﹣a,+∞)時(shí),h′(x)<0,h(x)為減函數(shù),
若1﹣a<2,即﹣1<a<0,h(x)在(0,1﹣a)上為增函數(shù),在(1﹣a,2)上為減函數(shù),
h(x)的最小值為min{h(0),h(2)}=min{1, }=1,
若1﹣a≥2,即a≤﹣1,h(x)在(0,2)上為增函數(shù),函數(shù)f(x)在[0,2]上的最小值為f(0)=1,
∴f(x)的最小值為f(0)=1,
g(x)的導(dǎo)數(shù)g′(x)=2xemx+x2emxm=(mx2+2x)emx,
當(dāng)m=0時(shí),g(x)=x2,x∈[0,2]時(shí),gmax(x)=g(2)=4,顯然不滿足gmax(x)≤1,
當(dāng)m≠0時(shí),令g′(x)=0得, ,①當(dāng)﹣ ≥2,即﹣1≤m≤0時(shí),在[0,2]上g′(x)≥0,∴g(x)在[0,2]單調(diào)遞增,∴ ,只需4e2m≤1,得m≤﹣ln2,則﹣1≤m≤﹣ln2;②當(dāng)0<﹣ <2,即m<﹣1時(shí),在[0,﹣ ],g′(x)≥0,g(x)單調(diào)遞增,在[﹣ ,2],g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,∴g(x)max=g(﹣ )= ,只需≤ 1,得m≤﹣ ,則m<﹣1;③當(dāng)﹣ <0,即m>0時(shí),顯然在[0,2]上g′(x)≥0,g(x)單調(diào)遞增,g(x)max=g(2)=4e2m,4e2m≤1不成立.綜上所述,m的取值范圍是(﹣∞,﹣ln2].
【解析】(1)把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式,直接利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值;(2)構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)+1,對(duì)任意的x1 , x2∈[0,2],f(x1)+1≥g(x2)恒成立,等價(jià)于當(dāng)a<0時(shí),對(duì)任意的x1 , x2∈[0,2],hmin(x)≥gmax(x)成立,分類求得f(x)在[0,2]上的最小值,再求g(x)的導(dǎo)數(shù),對(duì)m討論,結(jié)合單調(diào)性,求得最大值,解不等式即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用函數(shù)的最值及其幾何意義,掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲担焕脠D象求函數(shù)的最大(。┲;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲导纯梢越獯鸫祟}.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量 =(sinx,2cosx), =(5 cosx,cosx),函數(shù)f(x)= +| |2﹣ .
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若x∈( , )時(shí),f(x)=﹣3,求cos2x的值;
(3)若cosx≥ ,x∈(﹣ , ),且f(x)=m有且僅有一個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,函數(shù)與軸交于兩點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上(點(diǎn)在第一象限),∥.記,梯形面積為.
(Ⅰ)求面積以為自變量的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)若其中為常數(shù)且,求的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知{an}是等比數(shù)列,an>0,a3=12,且a2,a4,a2+36成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè){bn}是等差數(shù)列,且b3=a3,b9=a5,求b3+b5+b7+…+b2n+1.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意的x1 , x2∈(﹣∞,0)(x1≠x2),都有 <0.則下列結(jié)論正確的是( )
A.f(0.32)<f(20.3)<f(log25)
B.f(log25)<f(20.3)<f(0.32)
C.f(log25)<f(0.32)<f(20.3)
D.f(0.32)<f(log25)<f(20.3)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知對(duì)任意x∈R,恒有f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),且當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>0,g′(x)>0,則當(dāng)x<0時(shí)有( )
A.f′(x)>0,g′(x)>0
B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0
D.f′(x)<0,g′(x)<0
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知如表為“五點(diǎn)法”繪制函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)圖象時(shí)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)(其中A>0,ω>0,|φ|<π)
x | ﹣ | ||||
f(x) | 0 | 2 | 0 | ﹣2 | 0 |
(Ⅰ)請(qǐng)寫出函數(shù)f(x)的最小正周期和解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅲ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]上的取值范圍.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com