Question

已知a₁=0，a_n+1=ca_n+，c≠0，n∈N^*．
（I ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)：
（II）若對(duì)任意，n∈N^*，a_n+1＞a_n恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a_n+1=ca_n+，∴=+，-=-．
∴=+（-）+（-）+…+（-）=0+1-+-+…+-=1-，
∴a_n=cⁿ．（6分）
（Ⅱ）a_n+1＞a_n即cⁿ⁺¹＞cⁿ．
當(dāng)c＜0時(shí)，上面不等式顯然不恒成立；
當(dāng)c＞0時(shí)，上面不等式等價(jià)于c＞=1-．（9分）
1-是n的增函數(shù)，（1-）=1，∴c≥1．
綜上，c的取值范圍是c≥1．（12分）
分析：（Ⅰ）由a_n+1=ca_n+，知=+（-）+（-）+…+（-）=0+1-+-+…+-=1-，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．
（Ⅱ）a_n+1＞a_n即cⁿ⁺¹＞cⁿ．當(dāng)c＜0時(shí)，上面不等式顯然不恒成立；當(dāng)c＞0時(shí)，上面不等式等價(jià)于c＞=1-，由此能求出c的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用累加法求解函數(shù)的通項(xiàng)公式和借助極限知識(shí)求解參數(shù)的取值范圍，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．