設函數(shù)f（x）=
9x
9x+3
．
（1）求證：f（x）+f（1-x）=1；
（2）若f（x）+f（1-x）=1，根據(jù)f（x）=
9x
9x+3
，寫出一個更為一般的函數(shù)g（x）；
（3）計算：f（
1
2014
）+f（
2
2014
）+…+f（
2013
2014
）．
考點：函數(shù)的零點,函數(shù)的值
專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質及應用
分析：（1）運用指數(shù)的運算性質，化簡整理，即可得證；
（2）設g（x）=
ax
ax+b
，則由g（x）+g（1-x）=1，可得a=b2，即可得到g（x）；
（3）由（1）的結論，即可計算得到所求的和．
解答： （1）證明：f（x）+f（1-x）=
9x
9x+3
+
91-x
91-x+3

=
9x
9x+3
+
9
9+3•9x
=
9x
9x+3
+
3
3+9x
=1，
即有f（x）+f（1-x）=1；
（2）解：設g（x）=
ax
ax+b
，則由g（x）+g（1-x）=1，
即有
ax
ax+b
+
a1-x
a1-x+b
=
ax
ax+b
+
a
a+b•ax
=1．
則有a=b2，
故g（x）=
ax
ax+
a
；
（3）解：由于f（x）+f（1-x）=1，
則設S=f（
1
2014
）+f（
2
2014
）+…+f（
2013
2014
），
則S=f（
2013
2014
）+f（
2012
2014
）+…+f（
1
2014
）．
即有2S=（f（
1
2014
）+f（
2013
2014
））+（f（
2
2014
）+f（
2012
2014
））+…+（f（
2013
2014
）+f（
1
2014
））
=2013，
故S=
2013
2
．
點評：本題考查指數(shù)的運算性質，考查函數(shù)的函數(shù)值之間的關系式，考查運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

三個數(shù)a=log20.4，b=0.42，c=20.4的大小關系為（　　）
A、b＜a＜c
B、a＜c＜b
C、a＜b＜c
D、b＜c＜a

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點M是⊙B：（x+2）2+y2=12上的動點，點A（2，0），線段AM的中垂線交直線MB于點P．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與曲線C交于R，S兩點，D（0，-1），且有|
RD
|=|
SD
|，求m的取值范圍．

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對于數(shù)列{an}，定義Hn=
a1+2a2+…+2n-1an
n
為{an}的“優(yōu)值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列{an}的“優(yōu)值”Hn=2n+1，記數(shù)列{an-kn}的前n項和為Sn，若Sn≤S5對任意的n（n∈N*）恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設動點A、B（不重合）在橢圓9x2+16y2=144上，橢圓中心為O，且OA⊥OB，則點O到弦AB的距離OH=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

解不等式：（x-1）（x+2）（x-4）＞0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若點A，B在曲線x2-y2=2（x＞0）上，則
OA
•
OB
的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)，且[0，+∞）在上是增函數(shù)，若f（a）≤f（-2），則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AD1與BD所成的角是
 
．

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