已知向量
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(con
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[
π
2
，π]，求：
（1）
a
-
b
及
a
+
b
；  
（2）若f（x）=
a
.
b
-2λ|
a
+
b
|的最小值是-
3
2
，求λ的值．
分析：（1）直接運用向量的坐標加減法計算；
（2）先求出兩向量的數(shù)量積，再求出兩和向量的模，得出含有實數(shù)λ的表達式后分類討論函數(shù)取得最大值的情況，最后求得使函數(shù)取得最小值時λ的值．
解答：解：（1）
a
-
b
=(cos
3
2
x，sin
3x
2
)-(cos
x
2
，-sin
x
2
)
=(cos
3x
2
-cos
x
2
，sin
3x
2
+sin
x
2
)
a
+
b
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)+(cos
x
2
，-sin
x
2
)
=(cos
3x
2
+cos
x
2
，sin
3x
2
-sin
x
2
)
（2）
a
•
b
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)•(cos
x
2
，-sin
x
2
)
=cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2
=cos2x
|
a
+
b
|=
(cos
3x
2
+cos
x
2
)2+(sin
3x
2
-sin
x
2
)2

=
2+2cos2x
=2
cos2x

∵x∈[
π
2
，π]，∴|
a
+
b
|=2
cos2x
=-2cosx
∴f(x)=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|
=cos2x-2λ×（-2cosx）=（4λ+1）cosx
∵x∈[
π
2
，π]，∴cosx∈[-1，0]，
當4λ+1=0時，f（x）=0，函數(shù)無最小值
當當4λ+1＞0，即λ＞-
1
4
時，f(x)min=-4λ-1=-
3
2
，∴λ=
1
8

當4λ+1＜0，即λ＜-
1
4
時，f（x）min=0，不合題意．
所以所求的λ的值是
1
8
．
點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標表示即向量模的運算，考查了分類討論的數(shù)學思想，解答此題的關(guān)鍵是分清在λ的不同范圍下函數(shù)f（x）的最小值情況．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案