Question

18．課本中介紹了應(yīng)用祖暅原理推導(dǎo)棱錐體積公式的做法．祖暅原理也可用來求旋轉(zhuǎn)體的體積．現(xiàn)介紹祖暅原理求球體體積公式的做法：可構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，用這樣一個(gè)幾何體與半球應(yīng)用祖暅原理（圖1），即可求得球的體積公式．請(qǐng)研究和理解球的體積公式求法的基礎(chǔ)上，解答以下問題：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{25}=1$，將此橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體（圖2），其體積等于$\frac{80π}{3}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造一個(gè)底面半徑為2，高為5的圓柱，從中挖去一個(gè)圓錐，則由祖暅原理可得：橢球的體積為幾何體體積的2倍．

解答 解：橢圓的長(zhǎng)半軸為5，短半軸為2，
現(xiàn)構(gòu)造一個(gè)底面半徑為2，高為5的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，
根據(jù)祖暅原理得出橢球的體積V=2（V_圓柱-V_圓錐）=2（π×2²×5-$\frac{1}{3}π×{2}^{2}×5$）=$\frac{80π}{3}$．
故答案為：$\frac{80π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)祖暅原理的理解，屬于中檔題．