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4.在△ABC中,已知a(bcosB-ccosC)=(b2-c2)cosA,試判斷△ABC的形狀.

分析 由余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得a×(b×a2+c222ac-c×a2+2c22ab)=(b2-c22+c2a22bc,整理可得:(b2-c2)(b2+c2-a2)=0,從而解得b=c或b2+c2=a2,即可判斷三角形的形狀.

解答 解:由余弦定理可得:cosB=a2+c222ac,cosC=a2+2c22ab,cosA=2+c2a22bc,
代入a(bcosB-ccosC)=(b2-c2)cosA,
可得:a×(b×a2+c222ac-c×a2+2c22ab)=(b2-c22+c2a22bc,
整理得:b4-a2b2-c4+a2c2=0.
可得:(b2+c2)(b2-c2)+a2(c2-b2)=0,
可得:(b2-c2)(b2+c2-a2)=0,
可得:b=c或b2+c2=a2,
所以三角形是等腰三角形或直角三角形.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理,平方差公式在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題.

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