Question

12．.已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{b_n}{{（1-{a_n}）（1+{a_n}）}}$，且a₁，b₁是函數(shù)f（x）=16x²-16x+3的零點（a₁＜b₁）．
（1）求a₁，b₁，b₂；
（2）設c_n=$\frac{1}{{{b_n}-1}}$，求證：數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，并求b_n的通項公式；
（3）設S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，不等式4aS_n＜b_n恒成立時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由16x²-16x+3=0解得：${x_1}=\frac{1}{4}，{x_2}=\frac{3}{4}$，可得a₁，b₁．由${a_n}+{b_n}=1，{b_{n+1}}=\frac{b_n}{{（1-{a_n}）（1+{a_n}）}}$，得${b_{n+1}}=\frac{b_n}{{{b_n}（2-{b_n}）}}=\frac{1}{{2-{b_n}}}$，可得b₂．
（2）由${b_{n+1}}-1=\frac{1}{{2-{b_n}}}-1$，可得$\frac{1}{{{b_{n+1}}-1}}=\frac{{2-{b_n}}}{{{b_n}-1}}=\frac{1}{{{b_n}-1}}-1$．即c_n+1=c_n-1，利用等差數(shù)列的通項公式可得c_n，b_n．
（3）利用“裂項求和”方法可得S_n，對a分類討論，通過轉化利用單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由16x²-16x+3=0解得：${x_1}=\frac{1}{4}，{x_2}=\frac{3}{4}$，
∴${a_1}=\frac{1}{4}，{b_1}=\frac{3}{4}$．
由${a_n}+{b_n}=1，{b_{n+1}}=\frac{b_n}{{（1-{a_n}）（1+{a_n}）}}$，得${b_{n+1}}=\frac{b_n}{{{b_n}（2-{b_n}）}}=\frac{1}{{2-{b_n}}}$，
將${b_1}=\frac{3}{4}$代入得${b_2}=\frac{4}{5}$．
（2）∵${b_{n+1}}-1=\frac{1}{{2-{b_n}}}-1$，∴$\frac{1}{{{b_{n+1}}-1}}=\frac{{2-{b_n}}}{{{b_n}-1}}=\frac{1}{{{b_n}-1}}-1$．
即c_n+1=c_n-1，
又${c_1}=\frac{1}{{{b_1}-1}}=\frac{1}{{\frac{3}{4}-1}}=-4$．
故：數(shù)列{c_n}是以-4為首項，-1為公差的等差數(shù)列． 
于是c_n=-4+（n-1）×（-1）=-n-3，
由${c_n}=\frac{1}{{{b_n}-1}}$得${b_n}=\frac{1}{c_n}+1=1-\frac{1}{n+3}=\frac{n+2}{n+3}$．
（3）不由題意及（2）知：${a_n}=1-{b_n}=\frac{1}{n+3}$．
$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+3）（n+4）}$=$\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}$．
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1
=$（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）$+…+$（\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}）$
=$\frac{1}{4}-\frac{1}{n+4}$
=$\frac{n}{4（n+4）}$．
由$4a{S_n}-{b_n}=\frac{an}{n+4}-\frac{n+2}{n+3}=\frac{{（a-1）{n^2}+（3a-6）n-8}}{（n+3）（n+4）}＜0$恒成立，
即（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立即可，）
設f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8
①當a=1時，f（n）=-3n-8＜0恒成立
②當a＞1時，由二次函數(shù)的性質(zhì)f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0不可能恒成立．
③當a＜1時，由于$-\frac{3a-6}{2（a-1）}=-\frac{3}{2}（1-\frac{1}{a-1}）＜0$，
∴f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
由f（1）=（a-1）n²+（3a-6）n-8=4a-15＜0得$a＜\frac{15}{4}$，
∴a＜1，4aS_n＜b_n恒成立．
綜上所述：所求a的取值范圍是（-∞，1]．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列的單調(diào)性、“裂項求和”方法、數(shù)列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．