精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

已知向量 $數(shù)學公式$ 與 $數(shù)學公式$ 的對應關系用 $數(shù)學公式$ 表示．
（Ⅰ）設 $數(shù)學公式$ ，求向量 $數(shù)學公式$ 及 $數(shù)學公式$ 的坐標；
（Ⅱ）求使 $數(shù)學公式$ ，（p，q為常數(shù)）的向量 $數(shù)學公式$ 的坐標；
（Ⅲ）證明：對于任意向量 $數(shù)學公式$ 及常數(shù)m，n恒有 $數(shù)學公式$ 成立．

解：（I）由已知得 $\text{[math]}$ =（1，1）， $\text{[math]}$ =（0，-1）
（II）設 $\text{[math]}$ =（x，y），則 $\text{[math]}$ ，
∴y=p，x=2p-q，即 $\text{[math]}$ =（2P-q，p）．
（III）設 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ ，
故　 $\text{[math]}$ =m（a₂，2a₂-a₁）+n（b₂，2b₂-b₁），
∴ $\text{[math]}$
分析：（I）由已知中向量 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 的對應關系用 $\text{[math]}$ 表示，我們根據(jù) $\text{[math]}$ ，易得向量 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 的坐標；
（II）設 $\text{[math]}$ =（x，y），根據(jù) $\text{[math]}$ ，我們可以構(gòu)造關于x，y的方程，解方程即可求出向量 $\text{[math]}$ 的坐標；
（Ⅲ）設 $\text{[math]}$ ，分別求出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的坐標，比照后即可得到結(jié)論．
點評：本題考查的知識點是平面向量的坐標運算，其中正確理解新定義向量 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 的對應關系用 $\text{[math]}$ 表示是解答本題的關鍵．

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