Question

（本小題滿分12分）

如圖，在三棱錐P－ABC中，，，點(diǎn) 分別是AC、PC的中點(diǎn)，底面AB

（1）求證：平面；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成的角的大�。�

（3）當(dāng)取何值時(shí)，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心？

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析。

（2）

（3）

【解析】19．解：方法一：

（Ⅰ）∵O、D分別為AC、PC中點(diǎn)，

， ………………………………（2分）

（Ⅱ）

，

………．．（5分）

又，

PA與平面PBC所成的角的大小等于，

………………（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，∴F是O在平面PBC內(nèi)的射影

∵D是PC的中點(diǎn)，

若點(diǎn)F是的重心，則B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，

∴直線OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線BD，

，即…………………．．（10分）

反之，當(dāng)時(shí)，三棱錐為正三棱錐，

∴O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心…………………………．．（12分）

方法二：

，，

以O(shè)為原點(diǎn)，射線OP為非負(fù)z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）

設(shè)則，

設(shè)，則

（Ⅰ）D為PC的中點(diǎn)，

，

又  ，

（Ⅱ），即，

可求得平面PBC的法向量，

，

設(shè)PA與平面PBC所成的角為，則

，

（Ⅲ）的重心，

，

，

又，

，即，

反之，當(dāng)時(shí)，三棱錐為正三棱錐，

∴O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心