Question

11．已知函數(shù)f（x）=2cos（ωx+θ）（0＜θ＜π，ω＞0）為奇函數(shù)，其圖象與直線y=2相鄰兩交點(diǎn)的距離為π，則函數(shù)f（x）（　　）

• A． 在[${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]上單調(diào)遞減
• B． 在[${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]上單調(diào)遞增
• C． 在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}}$]上單調(diào)遞減
• D． 在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}}$]上單調(diào)遞增

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的奇偶性、周期性求得θ和ω的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2cos（ωx+θ）=2sin[$\frac{π}{2}$-（ωx+θ）]=-2sin（ωx+θ-$\frac{π}{2}$）（0＜θ＜π，ω＞0）為奇函數(shù)，
∴θ-$\frac{π}{2}$=kπ，即 θ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴θ=$\frac{π}{2}$，f（x）=-2sinωx．
再根據(jù)它的圖象與直線y=2相鄰兩交點(diǎn)的距離為π，則函數(shù)f（x）的周期為 $\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，
∴f（x）=-2sin2x．
x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]⇒2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，函數(shù)f（x）沒(méi)有單調(diào)性，故排除A、B．
在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}}$]上，2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，故排除D，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．