Question

（本小題滿分12分）
如圖是某直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)，側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.
（I）求出該幾何體的體積；
（II）求證：EM∥平面ABC；
  （III）試問在棱DC上是否存在點(diǎn)N，使NM⊥平面？若存在，確定點(diǎn)N的位置；    若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

略

解法一：由題意，Ea⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，AE//DC，AE=2，
DC=4，AB⊥AC，且AE=AC=2，
（I）∵EA⊥平面ABC，∴ea⊥ab, 又ab⊥ac,
   ∴ab⊥平面acde ,                …………2分
∴四棱錐b-acde的高h(yuǎn)=ab=2，梯形acde的面積S= 6
∴，
即所求幾何體的體積為4   ………………４分

  （II）證明：∵m為db的中點(diǎn)，取bc中點(diǎn)G，連接em,mG,aG，
∴ mG∥DC，且
∴ mG   ae，∴四邊形aGme為平行四邊形，……6分
∴em∥aG,又AG平面ABC  
AG平面ABC，
∴EM∥平面ABC.……8分
（III）由（II）知，em∥aG，
又∵平面BCD⊥底面ABC，aG⊥bc,∴AG⊥平面BCD
∴EM⊥平面BCD，又∵EM平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCD                10分
在平面BCD中，過M作MN⊥DB交DC于點(diǎn)N,
∴MN⊥平面BDE 點(diǎn)n即為所求的點(diǎn) ………………10分
∵∽

∴邊DC上存在點(diǎn)N，滿足DN=DC時(shí)，

有MN⊥平面BDE.        …………12分
解法二：（I）（同解法一） …………4分
（II）由（I）知EA⊥AB，EA⊥AC，AB⊥AC。
∴以A為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz ………5分
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
D（0，2，4），M（1，1，2），
 …………6分
顯然，為平面ABC的法向量，
且="0 " …………7分

∴EM∥平面ABC.         ……8分
（III）由（II）得，
設(shè)在棱DC上存在點(diǎn)，使MN⊥平面BDE，
則 …………9分
由 …………11分
∴在棱DC上存在點(diǎn)N（0，2，1），使MN⊥平面BDE.        …………12分