Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=αcosx+bsinx，其中a、b為實(shí)常數(shù)，若存在x₁，x₂，當(dāng)x₁-x₂≠kπ（k∈z）時(shí)，有|f（x₁）|+|f（x₂）|=0成立，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$]．

Answer 1

分析 把函數(shù)f（x）化為Asin（ωx+φ）的形式，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可求出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=αcosx+bsinx=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+θ），
∵-1≤sin（x+θ）≤1，
∴-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$≤$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+θ）≤$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$]．
故答案為：[-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．