Question

已知橢圓，斜率為1且過橢圓C₁右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，且與a=（3，-1）共線．
（1）求橢圓C₁的離心率．
（2）試證明直線OA斜率k₁與直線OB斜率k₂的乘積k₁•k₂為定值，并求值．
（3）若，試判斷點M是否在橢圓上，并說明理由．

Answer 1

解：設F（c，0），則直線l方程為y=x-c，代入橢圓方程：
，（a²+b²）x²-2ca²x+a²c²-a²b²=0
∴，；
∴y₁+y₂=x₁+x₂-2c
∴4
得a²=3d²
∴a²=3（a²-c²）
得：
∴橢圓離心率為．
（2）由（1）可知{a²=3b²，c²=2b²
∴
∴
∴
∴直線OA斜率k₁與直線OB斜率k₂乘積為定值
（3）設點M為（x₀，y₀），則
且由（2）知：x₁x₂+3y₁y₂=0
∴
∴點M為（x₀，y₀）符合橢圓方程，
∴點M在橢圓上．
分析：（1）直線與橢圓方程聯立用未達定理的A、B兩點坐標的關系，據向量共線的條件得橢圓中a，b，c的關系，從而求得橢圓的離心率
（2）由（1）可知{a²=3b²，c²=2b²從而，即可求得直線OA斜率k₁與直線OB斜率k₂乘積為定值；
（3）先設點M為（x₀，y₀），則，且由（2）知：x₁x₂+3y₁y₂=0，轉化成等式：
從而得出點M在橢圓上．
點評：考查向量共線為圓錐曲線提供已知條件；處理直線與圓錐曲線位置關系常用的方法是直線與圓錐曲線方程聯立用韋達定理．是高考常見題型且是解答題．