Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[a，a+2]上的最大值為3，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)y=f（x）在R上至少有一個(gè)零點(diǎn)?方程f（x）=x²-4x+a+3=0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根?△≥0，解出即可；
（II）通過對(duì)區(qū)間[a，a+2]端點(diǎn)與對(duì)稱軸頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)2的大小比較，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由函數(shù)y=f（x）在R上至少有一個(gè)零點(diǎn)，
即方程f（x）=x²-4x+a+3=0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
∴△=16-4（a+3）≥0，
解得a≤1．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3圖象的對(duì)稱軸方程是x=2．
①當(dāng)a+1≤2，即a≤1時(shí)，ymax=f(a)=a2-3a+3=3．
解得a=0或3．
又a≤1，
∴a=0．
②當(dāng)a+1＞2，即a＞1時(shí)，ymax=f(a+2)=a2+a-1=3
解得a=

-1± 17

2

．
又a＞1，∴a=

-1+ 17

2

．
綜上可知：a=0或

-1+ 17

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)零點(diǎn)與一元二次方程的實(shí)數(shù)根的關(guān)系、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式△的關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．