Question

3．設(shè)$\overrightarrow{AB}$=（k，1）（k∈Z），$\overrightarrow{AC}$=（2，4），若k為滿足|$\overrightarrow{AB}$|≤4的一個隨機(jī)數(shù)，則△ABC是直角三角形的概率是（　�。�

• A． $\frac{1}{7}$
• B． $\frac{2}{7}$
• C． $\frac{3}{7}$
• D． $\frac{4}{7}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量模長公式求出滿足條件的k的個數(shù)，再根據(jù)古典概型的計算公式進(jìn)行求解．

解答 解：∵$|{\overrightarrow{AB}}|≤4$∴$\sqrt{{k}^{2}+1}≤4$∴$-\sqrt{15}≤k≤\sqrt{15}$
又∵k為整數(shù)，則k∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}
若△ABC為直角三角形，則
當(dāng)A為直角時，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2k+4=0$，即k=-2
當(dāng)B為直角時，$|\overrightarrow{AC}{|}^{2}={|\overrightarrow{AB}|}^{2}+{|\overrightarrow{BC}|}^{2}$，即k=-1或k=3
∵$|{\overrightarrow{AB}}|≤4$，
∴C不可能為直角．
故△ABC是直角三角形的概率P=$\frac{3}{7}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查概率的計算，根據(jù)古典概型的概率公式，利用列舉法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．