Question

已知a∈R，設(shè)函數(shù)．
（ I） 若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程；
（ II）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求導(dǎo)數(shù)f'（x），欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=3處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，求出導(dǎo)函數(shù)的根，求出函數(shù)在導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)根處的函數(shù)值及區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，從幾個(gè)函數(shù)值中選出最大、最小值即可．
解答：解：（ I）a=2時(shí)，，所以f′（x）=x²-3x+2
所以f′（3）=2，而，所以切線方程為
即（一般式：4x-2y-9=0）
（ II）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）
當(dāng)a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，故f（x）_max=
當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，故f（x）_max=
當(dāng)a＞1時(shí)，
①1＜a≤2時(shí)，在[2，3]上f′（x）＞0，即f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，故f（x）_max=
②2＜a＜3時(shí)，在[2，a）上f′（x）＜0，在（a，3]上f′（x）＞0，故f（x）_max=max{f（2），f（3）}，而，
所以當(dāng)時(shí)，f（3）＞f（2），故f（x）_max=
當(dāng)時(shí)，f（3）＜f（2），故f（x）_max=
③a≥3時(shí)，在[2，3]上f′（x）≤0，即f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞減，
故f（x）_max=
綜上所述：
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．求函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，應(yīng)該先利用導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)的根對(duì)應(yīng)的函數(shù)值及區(qū)間的端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，選出最值即可．