Question

設(shè)函數(shù)．
（I）證明：是函數(shù)在區(qū)間上遞增的充分而不必要的條件；
（II）若時(shí)，滿足恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（I）見(jiàn)解析（II）

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
（1）利用是函數(shù)在區(qū)間上遞增的充分而不必要的條件，分為兩步來(lái)證明先證明充分性，再證明不必要性。
（2）求解導(dǎo)數(shù)分析導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，然后借助于導(dǎo)數(shù)為正或者為負(fù)數(shù)時(shí)的解集，得到單調(diào)增減區(qū)間，進(jìn)而判定函數(shù)的極值，得到函數(shù)的最值，進(jìn)而求解參數(shù)的范圍。
解：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得 ，     …………2分
先證充分性：若，，，
函數(shù)在區(qū)間上遞增.                            ……………4分
再說(shuō)明非必要性:在區(qū)間上遞增， ∴對(duì)1<x<2恒成立
由得，，而，
所以，即                            …………5分
所以，是函數(shù)在區(qū)間上遞增的充分而不必要的條件 ……7分
（2） ，令，得  
顯然，時(shí)不符合題意. …………8分
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（）上遞增，在上遞減，
若時(shí)，恒成立，需=6
，得.               …………………10分
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（）上遞增，在上遞減，
此時(shí)，，如滿足恒成立，
需得 …………12分
故若時(shí)，滿足恒成立，實(shí)數(shù)
------------------------------14分