Question

已知數(shù)列{x_n}滿足x₁=4，xn+1=

x 2 n -3

2xn-4

．
（Ⅰ）求證：x_n＞3；
（Ⅱ）求證：x_n+1＜x_n；
（Ⅲ）求數(shù)列{x_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）結(jié)合題設(shè)條件，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
（Ⅱ）xn+1-xn=

x 2 n -3

2xn-4

-xn=

- x 2 n +4xn-3

2xn-4

=

-(xn-1)(xn-3)

2xn-4

．由x_n＞3，知x_n+1＜x_n．
（Ⅲ）xn+1-1=

x 2 n -3

2xn-4

-1=

(xn-1)2

2xn-4

，xn+1-3=

x 2 n -3

2xn-4

-3=

(xn-3)2

2xn-4

，由題題條件能導(dǎo)出a_n=2^n-1．由an=log3

xn-1

xn-3

，得

xn-1

xn-3

=3an．從而得到xn=

3an+1-1

3an-1

=

32n-1+1-1

32n-1-1

．

解答：解：
（Ⅰ）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)n=1時，x₁=4＞3．所以結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k（n≥1）時結(jié)論成立，即x_n＞3，則xn+1-3=

x 2 n -3

2xn-4

-3=

(xn-3)2

2xn-4

＞0．
所以x_n+1＞3．
即n=k+1時，結(jié)論成立．
由①②可知對任意的正整數(shù)n，都有x_n＞3．（4分）
（Ⅱ）證明：xn+1-xn=

x 2 n -3

2xn-4

-xn=

- x 2 n +4xn-3

2xn-4

=

-(xn-1)(xn-3)

2xn-4

．
因為x_n＞3，所以

-(xn-1)(xn-3)

2xn-4

＜0，即x_n+1-x_n＜0．
所以x_n+1＜x_n．（9分）
（Ⅲ）解：xn+1-1=

x 2 n -3

2xn-4

-1=

(xn-1)2

2xn-4

，xn+1-3=

x 2 n -3

2xn-4

-3=

(xn-3)2

2xn-4

，
所以

xn+1-1

xn+1-3

=(

xn-1

xn-3

)2．
又

x1-1

x1-3

=

4-1

4-3

=3，
所以log3

xn+1-1

xn+1-3

=2log3

xn-1

xn-3

．（11分）
又log3

x1-1

x1-3

=1，
令an=log3

xn-1

xn-3

，則數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
所以a_n=2^n-1．
由an=log3

xn-1

xn-3

，得

xn-1

xn-3

=3an．
所以xn=

3an+1-1

3an-1

=

32n-1+1-1

32n-1-1

．（14分）

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的證明過程．