Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），其中一個焦點為F（2，0），且F到一條漸近線的距離為

3

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且線段AB的中點在拋物線y²=-2x上，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由題意

c=2 b= 3

，解得：a=1，c=2，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設中點為M，有

x 2 1 - y 2 1 3 =1 x 2 2 - y 2 2 3 =1

，由此能求出m的值．

解答：解：（1）由題意

c=2 b= 3

解得：a=1，c=2，
∴b²=3
方程為：x2-

y2

3

=1
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設中點為M
有

x 2 1 - y 2 1 3 =1 x 2 2 - y 2 2 3 =1

，
得：

y1-y2

x1-x2

=

3(x1+x2)

y1+y2

=

3×2x中

y中

=

3

kOM

，
即：k_OM=3
由

y=3x y2=-2x

，
得：M（0，0）或（-

2

9

，-

2

3

）
從而m=0或-

4

9

．

點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，雙曲線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．