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1.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率e=22,且橢圓上一點M與橢圓左右兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為4+22
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,設(shè)點D為橢圓上任意一點,直線y=m和橢圓C交于A、B兩點,且直線DA、DB與y軸分別交于P、Q兩點,試探究∠PF1F2和∠QF1F2之間的等量關(guān)系并加以證明.

分析 (1):由題意可得:e=22=ca,2a+2c=4+22,又a2=b2+c2.聯(lián)立解出即可得出橢圓C的方程.
(2)設(shè)D(x0,y0),則x204+y202=1.把y=m代入橢圓方程可得:A(-42m2,m),B(42m2,m).利用點斜式可得:直線DA的方程與直線DB的方程,可得P,Q的坐標(biāo).利用斜率公式只要證明kPF1kQF1=1即可得出.

解答 (1)解:由題意可得:e=22=ca,2a+2c=4+22,又a2=b2+c2
聯(lián)立解得:a=2,b=c=2
∴橢圓C的方程為:x24+y22=1.
(2)解:∠PF1F2+∠QF1F2=90°.
下面給出證明:F120
設(shè)D(x0,y0),則x204+y202=1.
把y=m代入橢圓方程可得:x24+m22=1,解得x=±42m2
取A(-42m2,m),B(42m2,m).
直線DA的方程為:y-y0=my042m2x0(x-x0),可得P0my0x042m2+x0+y0
同理可得:直線DB的方程為:y-y0=my042m2x0(x-x0),可得Q0x0my042m2x0+y0
kPF1=mx0+y042m2242m2+x0
kQF1=mx0+y042m2242m2x0
y20=2-x202
kPF1kQF1=mx0+y042m2242m2+x0mx0+y042m2242m2x0=y2042m2m2x20242m2x20=2x20242m2m2x20242m2x20=1.
∴∠PF1F2+∠QF1F2=90°.

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、直線方程、斜率計算公式、點與橢圓的位置關(guān)系,考查了探究能力、推理能力與計算能力,屬于難題.

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