分析 (1):由題意可得:e=√22=ca,2a+2c=4+2√2,又a2=b2+c2.聯(lián)立解出即可得出橢圓C的方程.
(2)設(shè)D(x0,y0),則x204+y202=1.把y=m代入橢圓方程可得:A(-√4−2m2,m),B(√4−2m2,m).利用點斜式可得:直線DA的方程與直線DB的方程,可得P,Q的坐標(biāo).利用斜率公式只要證明kPF1•kQF1=1即可得出.
解答 (1)解:由題意可得:e=√22=ca,2a+2c=4+2√2,又a2=b2+c2.
聯(lián)立解得:a=2,b=c=√2.
∴橢圓C的方程為:x24+y22=1.
(2)解:∠PF1F2+∠QF1F2=90°.
下面給出證明:F1(−√2,0).
設(shè)D(x0,y0),則x204+y202=1.
把y=m代入橢圓方程可得:x24+m22=1,解得x=±√4−2m2.
取A(-√4−2m2,m),B(√4−2m2,m).
直線DA的方程為:y-y0=m−y0−√4−2m2−x0(x-x0),可得P(0,(m−y0)x0√4−2m2+x0+y0).
同理可得:直線DB的方程為:y-y0=m−y0√4−2m2−x0(x-x0),可得Q(0,−x0(m−y0)√4−2m2−x0+y0).
∴kPF1=mx0+y0√4−2m2√2(√4−2m2+x0),
kQF1=−mx0+y0√4−2m2√2(√4−2m2−x0).
又y20=2-x202.
∴kPF1•kQF1=mx0+y0√4−2m2√2(√4−2m2+x0)•−mx0+y0√4−2m2√2(√4−2m2−x0)=y20(4−2m2)−m2x202(4−2m2−x20)=(2−x202)(4−2m2)−m2x202(4−2m2−x20)=1.
∴∠PF1F2+∠QF1F2=90°.
點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、直線方程、斜率計算公式、點與橢圓的位置關(guān)系,考查了探究能力、推理能力與計算能力,屬于難題.
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A. | 30° | B. | 45° | C. | 60° | D. | 75° |
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A. | {x|-3<x<-1} | B. | {x|-3<x<0} | C. | {x|-1≤x<0} | D. | {x|x<-3} |
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