【答案】
分析:(1)先依據(jù)待定系數(shù)法求a,b的值,得函數(shù)的解析式,再求導(dǎo)數(shù)fˊ(x),在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,求出單調(diào)區(qū)間.
(2)設(shè)正方形ABCD對(duì)角線AC所在的直線方程為y=kx,則其斜率唯一確定,轉(zhuǎn)化為二元方程只有唯一實(shí)數(shù)根,利用根的判別式求解即可.
解答:解:(1)因?yàn)橐粋(gè)頂點(diǎn)為(2,1),
所以必有另三個(gè)頂點(diǎn)(-2,-1),(1,-2),(-1,2),
將(2,1),(1,-2)代入y=ax
3+bx,得
,
.(4分)
所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224318612030020/SYS201311012243186120300003_DA/3.png">,令f′(x)>0,得
或
,
所以函數(shù)f(x)單調(diào)增區(qū)間為
和
.(6分)
(2)設(shè)正方形ABCD對(duì)角線AC所在的直線方程為y=kx(k≠0),
則對(duì)角線BD所在的直線方程為
.
由
解得
,
所以
,
同理,
,
又因?yàn)锳O
2=BO
2,所以
.(10分)
即
,即
.
令
得t
2-bt+2=0
因?yàn)檎叫蜛BCD唯一確定,則對(duì)角線AC與BD唯一確定,于是
值唯一確定,
所以關(guān)于t的方程t
2-bt+2=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,又
.
所以△=b
2-8=0,即
.(14分)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224318612030020/SYS201311012243186120300003_DA/20.png">,a>0,所以b<k;又
,所以
,故b<0.
因此
;
反過來
時(shí),
,
,
于是
,
;或
,
于是正方形ABCD唯一確定.(16分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查函數(shù)的解析式的求法以及導(dǎo)數(shù),單調(diào)性,不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力.