Question

已知關(guān)于x的方程x²+mx+m+n=0的兩根分別為橢圓和雙曲線的離心率．記分別以m、n為橫縱坐標(biāo)的點(diǎn)P（m，n）表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若函數(shù)y=log_a（x+3）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

1. A.
   a＞2
2. B.
   a≥2
3. C.
   1＜a＜2
4. D.
   1＜a≤2

Answer 1

C
分析：根據(jù)關(guān)于x的方程x²+mx+m+n=0的兩根分別為橢圓和雙曲線的離心率，可得方程x²+mx+m+n=0的兩根，一根屬于（0，1），另一根屬于（1，+∞），從而可確定平面區(qū)域?yàn)镈，進(jìn)而利用函數(shù)y=log_a（x+3）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+mx+m+n
∵關(guān)于x的方程x²+mx+m+n=0的兩根分別為橢圓和雙曲線的離心率
∴方程x²+mx+m+n=0的兩根，一根屬于（0，1），另一根屬于（1，+∞）
∴，∴
∵直線m+n=0，1+2m+n=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1）
∴要使函數(shù)y=log_a（x+3）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則必須滿足1＞log_a（-1+3）
∴l(xiāng)og_a2＜1
∵a＞1
∴1＜a＜2
故選C．
點(diǎn)評：本題以方程根為載體，考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，確定平面區(qū)域是解題的關(guān)鍵．