【題目】已知函數(shù)且在上的最大值為,

1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并加以證明

【答案】122個(gè)零點(diǎn).

【解析】

1)由題意,可借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)上的單調(diào)性,確定出最值,令最值等于,即可得到關(guān)于a的方程,由于a的符號(hào)對(duì)函數(shù)的最值有影響,故可以對(duì)a的取值范圍進(jìn)行討論,分類求解;(2)借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)fx)在(0,π)內(nèi)單調(diào)性,由零點(diǎn)判定定理即可得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),對(duì)于任意的x(0, ),

sinx+xcosx>0,當(dāng)a=0時(shí),f(x)= ,不合題意;

當(dāng)a<0時(shí),x(0,),f′(x)<0,從而f(x)(0, )單調(diào)遞減,

又函數(shù)f(x)=axsinx (aR)[0, ]上圖象是連續(xù)不斷的,

故函數(shù)在[0, ]上的最大值為f(0),不合題意;

當(dāng)a>0時(shí),x(0, ),f′(x)>0,從而f(x)(0, )單調(diào)遞增,

又函數(shù)f(x)=axsinx (aR)[0, ]上圖象是連續(xù)不斷的,

故函數(shù)在[0, ]上上的最大值為f()=a=,解得a=1

綜上所述,;

(2)函數(shù)f(x)(0,π)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)。證明如下:

(I),f(x)=xsinx,從而有f(0)= <0,f()=π32>0

又函數(shù)在[0, ]上圖象是連續(xù)不斷的,所以函數(shù)f(x)(0, )內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn),

又由(I)f(x)(0, )單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)(0, )內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)。

當(dāng)x[,π]時(shí),g(x)=f′(x)=sinx+xcosx,

g()=1>0,g(π)=π<0,g(x)[,π]上的圖象是連續(xù)不斷的,

故存在m,π),使得g(m)=0.

g′(x)=2cosxxsinx,x(,π)時(shí),g′(x)<0,

從而g(x)[,π]上單調(diào)遞減。

當(dāng)x,m),g(x)>g(m)=0,f′(x)>0,

從而f(x)(,m)內(nèi)單調(diào)遞增

故當(dāng)x(,m)時(shí),f(x)>f(π2)=π32>0,

從而(x)(,m)內(nèi)無(wú)零點(diǎn);

當(dāng)x(m,π)時(shí),g(x)<g(m)=0,f′(x)<0

從而f(x)(,m)內(nèi)單調(diào)遞減。

f(m)>0,f(π)<0f(x)[m,π]上的圖象是連續(xù)不斷的,

從而f(x)[m,π]內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。

綜上所述,函數(shù)f(x)(0,π)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求圓的普通方程及其極坐標(biāo)方程;

2)設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為,射線與圓的交點(diǎn)為(異于極點(diǎn)),與直線的交點(diǎn)為,求線段的長(zhǎng).

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1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和為;

3)將數(shù)列的項(xiàng)按照當(dāng)為奇數(shù)時(shí),放在前面;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),放在前面的要求進(jìn)行排列,得到一個(gè)新的數(shù)列:,,,,,,,,,求這個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和.

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1)求直角圓形彎管(圖3)的體積;

2)求斜截面橢圓的焦距;

3)在相應(yīng)的圖1中建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,使所畫的曲線的方程為,求出方程并畫出大致圖像;

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(2)求函數(shù)的極值;

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2)若點(diǎn),求的值.

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A.沒(méi)有最大元素,有一個(gè)最小元素

B.沒(méi)有最大元素,也沒(méi)有最小元素

C.有一個(gè)最大元素,有一個(gè)最小元素

D.有一個(gè)最大元素,沒(méi)有最小元素

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