Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過A（2，0）和B（1，）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I ）求橢圓C的方程；
（II）若以點(diǎn)O為端點(diǎn)的兩條射線與橢圓c分別相交于點(diǎn)M，N且丄，證明：點(diǎn)O到直線MN的距離為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過A（2，0）和B（1，）兩點(diǎn)，建立方程組，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（II）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用向量知識(shí)及韋達(dá)定理，即可求得結(jié)論．
解答：（I）解：∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過A（2，0）和B（1，）兩點(diǎn)，
∴，
∴
∴橢圓C的方程為；
（II）證明：①當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，其方程為x=±，則點(diǎn)O到直線MN的距離為；
②當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，其方程為y=kx+m，設(shè)M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
將y=kx+m代入橢圓方程，可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，則x₁+x₂=-，x₁x₂=
令△＞0，解得m²＜4k²+3，
∵丄，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
∴（1+k²）•-km•+m²=0，
∴＜4k²+3
∴點(diǎn)O到直線MN的距離為=，
由①②可得點(diǎn)O到直線MN的距離為定值．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．