Question

如圖，把正三角形ABC分成有限個(gè)全等的小正三角形，且在每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)上都放置一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使得任意兩個(gè)相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點(diǎn)上實(shí)數(shù)的乘積相等．設(shè)點(diǎn)A為第一行，…，BC為第n行，記點(diǎn)A上的數(shù)為a₁₁=1，…，第i行中第j個(gè)數(shù)為a_ij （1≤j≤i）．若a ₂₁=

1

2

，a ₂₂=

1

4

，則a₃₁+a₃₂+a₃₃=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)任意兩個(gè)相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點(diǎn)上實(shí)數(shù)的乘積相等，分別求出a₃₁、a₃₂、a₃₃的值，從而求出所求．

解答：解：∵任意兩個(gè)相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點(diǎn)上實(shí)數(shù)的乘積相等
∴a ₂₁•a ₂₂=

1

2

×

1

4

=a₁₁•a₃₂=1×a₃₂，
∴a₃₂=

1

8

，而a ₂₁•a ₃₂=

1

2

×

1

8

=a₂₂•a₃₁=

1

4

×a₃₁，
∴a₃₁=

1

4

，而a ₂₁•a ₃₃=

1

2

×a ₃₃=a₂₂•a₃₂=

1

4

×

1

8

，
∴a ₃₃=

1

16

∴a₃₁+a₃₂+a₃₃=

1

4

+

1

8

+

1

16

=

7

16

故答案為：

7

16

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是根據(jù)任意兩個(gè)相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點(diǎn)上實(shí)數(shù)的乘積相等建立等式，屬于中檔題．