Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x²-1．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的最值；
（2）對(duì)于一切正數(shù)x，恒有f（x）≤k（x²-1）成立，求實(shí)數(shù)k的取值組成的集合．

Answer 1

解：（1）
求導(dǎo)函數(shù)可得，所以函數(shù)h（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減．
所以h（x）的最大值為h（1）=0．…．（3分）
（2）令函數(shù)F（x）=lnx-k（x²-1）得
當(dāng)k≤0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0恒成立，所以F（x）在（0，+∞）遞增，
故x＞1時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（0）=0不滿足題意．…．（5分）
當(dāng)k＞0時(shí)，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0恒成立，函數(shù)F（x）遞增；
當(dāng)時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0恒成立，函數(shù)F（x）遞減．
所以；即 F（x）的最大值…．（8分）
令，則．
令函數(shù)，
所以當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，函數(shù)H（t）遞減；當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)H（x）遞增；
所以函數(shù)H（t）≥H（1）=0，
從而，∴（11分）
就必須當(dāng)，即時(shí)成立．
綜上．…．（12分）
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)h（x）最大值；
（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=lnx-k（x²-1），對(duì)于一切正數(shù)x，恒有f（x）≤k（x²-1）成立，等價(jià)于F（x）≤0恒成立．求導(dǎo)函數(shù)，再進(jìn)行分類討論，即可確定實(shí)數(shù)k的取值組成的集合．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查構(gòu)造函數(shù)法解決不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的最值．