Question

18．設(shè)$\overrightarrow a$=（-1，1），$\overrightarrow b$=（x，3），$\overrightarrow c$=（5，y），$\overrightarrow d$=（8，6），且$\overrightarrow b$∥$\overrightarrow d$，（4$\overrightarrow a$+$\overrightarrow d$）⊥$\overrightarrow c$．
（1）求$\overrightarrow b$和$\overrightarrow c$；       
（2）求$\overrightarrow c$在$\overrightarrow a$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量平行，垂直與坐標(biāo)的關(guān)系列出方程組解出x，y；
（2）求出cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞，利用投影公式計(jì)算．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow b∥\overrightarrow d$，∴6x-24=0，即x=4．
∵4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrowxvsuher$=（4，10），（4$\overrightarrow a$+$\overrightarrow d$）⊥$\overrightarrow c$．
∴（4$\overrightarrow a$+$\overrightarrow d$）•$\overrightarrow c$=20+10y=0．解得y=-2．
∴$\overrightarrow b$=（4，3），$\overrightarrow c$=（5，-2）．
（2）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=-5-2=-7，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{29}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{-7}{\sqrt{2}•\sqrt{29}}$=-$\frac{7\sqrt{58}}{58}$，
∴$\overrightarrow c$在$\overrightarrow a$方向上的投影為$|{\overrightarrow c}|cos＜\overrightarrow a，\overrightarrow c＞=-\frac{{7\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于中檔題．