Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=sin²x-（

2

3

）^|x|+

1

2

有如下四個結(jié)論：①f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；②f（x）的值域是（-

1

2

，

3

2

）；③當(dāng)x∈（0，

π

2

）時，f（x）為增函數(shù)；④f（x）在R上有且只有一個零點(diǎn)，則正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意：依次分析命題：①運(yùn)用f（-x）和f（x）關(guān)系，判定函數(shù)的奇偶性；②求出函數(shù)值域即可③利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性④根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)和函數(shù)值域即可判斷

解答： 解：y=f（x）的定義域為x∈R，且f（-x）=f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故①正確．
因為f（x）=

1

2

（1-cos2x）-（

2

3

）^|x|+

1

2

=1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|，-1≤cos2x≤1，
所以-

1

2

≤1-

1

2

cos2x≤

3

2

，（

2

3

）^|x|＞0，
所以f（x）＜

3

2

，
而cos2x，（

2

3

）^|x|在x=0時同時取得最大值，
所以在x=0時可取的最小值-

1

2

，
故函數(shù)的值域為[-

1

2

，

3

2

），故②錯誤，
因為x∈（0，

π

2

）時，f（x）=

1

2

（1-cos2x）-（

2

3

）^x+

1

2

，
所以f′（x）=sin2x-（

2

3

）^xln

2

3

＞0恒成立，
故當(dāng)x∈（0，

π

2

）時，f（x）為增函數(shù)，故③正確，
由于函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)的值域為[-

1

2

，

3

2

），故f（x）在R上有且只有一個零點(diǎn)是錯誤的，故④錯誤
故選：B．

點(diǎn)評：本題以具體函數(shù)為載體，考查了函數(shù)奇偶性的判斷及借助不等式知識對函數(shù)值域范圍進(jìn)行判斷，涉及到函數(shù)奇偶性的判斷，同時還涉及到三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的范圍問題，利用不等式的放縮求新函數(shù)的范圍．綜合性強(qiáng)