Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx，且1≤f（1）≤2，2≤f（-2）≤4．向量$\overrightarrow m$=（a，b），$\overrightarrow n$=（0，2），則|$\overrightarrow m$-$\overrightarrow n$|的取值范圍為$[\sqrt{2}，\sqrt{5}]$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=ax²+bx，且1≤f（1）≤2，2≤f（-2）≤4．可得：$\left\{\begin{array}{l}{1≤a+b≤2}\\{1≤2a-b≤2}\end{array}\right.$，如圖所示，表示的可行域為四邊形BACD及其內(nèi)部的點，可得A，B，C，D．
向量$\overrightarrow m$=（a，b），$\overrightarrow n$=（0，2），$\overrightarrow m$-$\overrightarrow n$=（a，b-2），設(shè)點P（0，2），可得|$\overrightarrow m$-$\overrightarrow n$|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-2）^{2}}$∈[|PC|，|PA|]．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax²+bx，且1≤f（1）≤2，2≤f（-2）≤4．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1≤a+b≤2}\\{2≤4a-2b≤4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1≤a+b≤2}\\{1≤2a-b≤2}\end{array}\right.$，
如圖所示，表示的可行域為四邊形BACD及其內(nèi)部的點，可得A（1，0），B$（\frac{4}{3}，\frac{2}{3}）$，C（1，1），D$（\frac{2}{3}，\frac{1}{3}）$．
向量$\overrightarrow m$=（a，b），$\overrightarrow n$=（0，2），$\overrightarrow m$-$\overrightarrow n$=（a，b-2），
設(shè)點P（0，2），
|PC|=$\sqrt{2}$，|PB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，|PA|=$\sqrt{5}$，|PD|=$\frac{\sqrt{29}}{3}$．
則|$\overrightarrow m$-$\overrightarrow n$|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-2）^{2}}$∈[|PC|，|PA|]=$[\sqrt{2}，\sqrt{5}]$，
故答案為：$[\sqrt{2}，\sqrt{5}]$．

點評 本題考查了線性規(guī)劃的有關(guān)知識、不等式的性質(zhì)、兩點之間的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．