Processing math: 100%
15.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn=32an-(-1)n-2,(n∈N*).
(1)證明:{an-(-1)n}為等比數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{1an}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,證明:Tn23(n∈N*

分析 (1)通過(guò)Sn=32an-(-1)n-2與Sn-1=32an-1-(-1)n-1-2作差,可知an=3an-1+4(-1)n,進(jìn)而變形可知數(shù)列{an-(-1)n}是首項(xiàng)為3、公比為3的等比數(shù)列,計(jì)算即得結(jié)論;
(2)通過(guò)(1)可知1an4913n1(n≥2),驗(yàn)證當(dāng)n=1、2時(shí)成立,并通過(guò)放縮可知T349(1+13+19),進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論.

解答 證明:(1)∵Sn=32an-(-1)n-2,
∴當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=32an-1-(-1)n-1-2,
兩式相減得,an=32an-32an-1-(-1)n+(-1)n-1
整理得:12an=32an-1+(-1)n-(-1)n-1,即an=3an-1+4(-1)n,
變形得:an-(-1)n=3[an-1-(-1)n-1],
又∵S1=32a1-(-1)1-2,即a1=2,
∴數(shù)列{an-(-1)n}是首項(xiàng)為3、公比為3的等比數(shù)列,
∴an-(-1)n=3n,
于是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=(-1)n+3n
(2)由(1)可知1an=13n+1n4913n1(n≥2),
當(dāng)n=1、2時(shí),顯然有Tn23,
∵T3=12+110+126=831305281=49(1+13+19),
∴當(dāng)n≥3時(shí),Tn49(1+13+19+…+13n1)=49113n113=23(1-13n)<23,
綜上所述,Tn23(n∈N*).

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和,考查分類(lèi)討論的思想,考查放縮法,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

5.在平面幾何中有正確的結(jié)論,已知一個(gè)正三角形的內(nèi)切圓面積為S1,外接圓面積為S2,則S1S2=14,類(lèi)比上述結(jié)論推理,在空間中,已知一個(gè)正四面體的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則V1V2=(  )
A.13B.18C.116D.127

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

6.已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù),且a1=1,an+12-an+1=an2+an
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=1a2n,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求證:Tn<2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

3.已知等比數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,且滿(mǎn)足a3+a4=12,a1•a6=32,
(Ⅰ)若bn=log2an,試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an•bn}的前n項(xiàng)和為Sn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

10.若數(shù)列{An}滿(mǎn)足An+1=An2,則稱(chēng)數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=9,且an+1=a2n+2an,其中n為正整數(shù).
(Ⅰ)證明數(shù)列{an+1}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(an+1)}為等比數(shù)列.
(Ⅱ)設(shè)(Ⅰ)中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為T(mén)n,即Tn=(a1+1)(a2+1)…(an+1),求lgTn
(Ⅲ)在(2)的條件下,記bn=lgTnlgan+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn,并求使Sn>4030的n的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

20.給出以下四個(gè)結(jié)論,其中錯(cuò)誤的是(  )
A.命題“若x2-x-2=0,則x=2”的逆否命題為“x≠2,則x2-x-2≠0”
B.若命題p:?x∈R,x2+x+1=0,則¬p:?x∈R,x2+x+1≠0
C.若p∧q為假命題,則p,q均為假命題
D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要條件

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

7.如圖,四棱錐P-ABCD,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且與底面ABCD垂直,M為PC的中點(diǎn).
(I)求證:PC⊥AD;
(Ⅱ)求直線(xiàn)DM與平面PAC所成的角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

4.如果an=12+22+…+n2,求數(shù)列{2n+1an}的前n項(xiàng)之和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

5.已知全集U=R,集合A={x|x2-x-2≥0},B={x|x≥1},則(∁RA)∩B=(  )
A.{x|-1<x<1}B.{x|1≤x≤2}C.{x|-1≤x<1}D.{x|1≤x<2}

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案