（本題滿分12分）如圖，在正四棱錐中，,點(diǎn)在棱上． (Ⅰ)問點(diǎn)在何處時，，并加以證明；(Ⅱ)當(dāng)時,求點(diǎn)到平面的距離；(Ⅲ)求二面角的大小.

(Ⅰ)  見解析（Ⅱ)   （Ⅲ）


解析:

法一: (Ⅰ)當(dāng)E為PC中點(diǎn)時，．………2分

連接AC，且，由于四邊形ABCD為正方形，

∴O為AC的中點(diǎn)，又E為中點(diǎn)，∴OE為△ACP的中位線，

∴，又，∴……4分

(Ⅱ) 點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面

在正△DPC和正△BPC中，由于E為PC中點(diǎn)，

∴PC⊥DE，PC⊥BE ，又，

∴，PE即為所求，

∴點(diǎn)到平面的距離為．………………………8分

(Ⅲ)連接PO，則，∴，又BO⊥AC，

∴點(diǎn)作，垂足為，連接.

由三垂線定理得.為二面角的平面角.  ………10分

在中，，.

又，    故二面角的正弦值為.

故.   ………12分

解法二: (Ⅱ)作,依題意是正方形的中心,如圖建立空間坐標(biāo)系.

則, , ，．

∴ ， ，

，

設(shè)面的法向量為

  ,   ……………… 6分

點(diǎn)到平面的距離為.  ………………8分

 (Ⅲ)設(shè)二面角的平面角為，平面的法向量為.

  設(shè)平面的法向量為, .………10分

.  ……………12分

練習(xí)冊系列答案
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（本題滿分12分）

如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱被平面所截而得. ，為的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)時，求平面與平面的夾角的余弦值；

（2）當(dāng)為何值時，在棱上存在點(diǎn)，使平面？

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖北省八市高三3月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分）如圖，在長方體中，已知上下兩底面為正方形，且邊長均為1；側(cè)棱，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為上一個動點(diǎn).

（Ⅰ）確定點(diǎn)的位置，使得；

（Ⅱ）當(dāng)時，求二面角的平

面角余弦值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣西桂林中學(xué)高三7月月考試題理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)．

 ⑴求異面直線PD與AE所成角的大�。�

 ⑵求證：EF⊥平面PBC ；

 ⑶求二面角F—PC—B的大�。�.

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年湖南省招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

 

（本題滿分12分）

如圖3，在圓錐中，已知的直徑的中點(diǎn)．

（I）證明：

（II）求直線和平面所成角的正弦值．

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年海南省高三五校聯(lián)考數(shù)學(xué)（文） 題型：解答題

（本題滿分12分）

如圖，三棱錐S—ABC中，AB⊥BC，D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，SA=SB=SC。

   （1）求證：BC⊥平面SDE；

   （2）若AB=BC=2，SB=4，求三棱錐S—ABC的體積。

 

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