Question

已知橢圓E：的離心率e=，且過點
M（2，1），又橢圓E上存在A、B兩點關(guān)于直線l：y=x+m對稱．
（Ⅰ）求橢圓E的方程，
（Ⅱ）求實數(shù)m的取值范圍，
（Ⅲ）設點P在直線l上，若，求S_△APB的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵且
∴
∴橢圓E得方程為：

（Ⅱ）設直線AB的方程為y=-x+n，設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由得3x²-4nx+2n²-6=0
∵△＞0∴-3＜n＜3
∵設A．B的中點C（x₀，y₀），
則點C在ly=-x+n上
∴n=3m即-3＜3m＜3得-1＜m＜1

（Ⅲ）依題意得：△APB是等腰三角形，
∴
∵
∴
∴當n=0時，S_△APB取最大值
分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率求得a和c的關(guān)系，進而求得a和b的關(guān)系式，把點（2，1）代入橢圓方程求得a和b的另一關(guān)系式，聯(lián)立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）設出直線AB的方程和A，B的坐標，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0求得n的范圍，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，設出C的坐標，進而求得x₀和y₀的表達式，代入直線方程求得m和n的關(guān)系式．利用n的范圍確定m的范圍．
（Ⅲ）根據(jù)題意可判斷出△APB為等腰直角三角形，進而利用三角形面積公式求得三角形面積的表達式，根據(jù)n的范圍確定三角形面積的最大值．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．位置關(guān)系是歷年高考命題的熱點，平時應強化訓練．