【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)的單調遞減區(qū)間；

（2）當時，設函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）當時，的單調遞減區(qū)間為，，當時，的單調遞減區(qū)間為，當時，的單調遞減區(qū)間為，；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)導數(shù)對進行分類討論，得到不同情況下的單調遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)在區(qū)間上存在零點轉化為方程在區(qū)間上有實數(shù)根，再利用函數(shù)的導數(shù)的性質求得函數(shù)在區(qū)間上的極值，從而得到取值范圍.

試題解析： 的定義域為，

.………………1分

①當時，，由，

得或.

當，時，單調遞減.

的單調遞減區(qū)間為，.………………2分

②當時，恒有，

的單調遞減區(qū)間為.………………3分

③當時，.由，得或.

當，時，單調遞減.

的單調遞減區(qū)間為，.………………4分

綜上，當時，的單調遞減區(qū)間為，；

當時，的單調遞減區(qū)間為；

當時，的單調遞減區(qū)間為，.………………5分

（2）在上有零點，

即關于的方程在上有兩個不相等的實數(shù)根.

令函數(shù)，，………………6分

則.

令函數(shù)，.

則在上有.

故在上單調遞增.

，………………8分

∴當時，有即.

∴單調遞減；

當時，有即，

單調遞增.………………10分

，，

.

∴的取值范圍為.………………12分

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