Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=2，其前n項和為S_n，當n≥2時，滿足a_n-2ⁿ=S_n-1，又b_n=

an

2n

，
（I）證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（II）求數(shù)列{S_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）求出數(shù)列的前兩項，通過a_n-2ⁿ=S_n-1，求出a_n+1，a_n的關系，轉(zhuǎn)化為數(shù)列{b_n}相鄰兩項的關系，即可證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（II）通過（I），求出數(shù)列{b_n}，{a_n}的通項公式，確定數(shù)列{S_n}的通項公式，利用錯位相減法求出數(shù)列{S_n}前n項和T_n．

解答：解：（I）由題意知得，a₁=2，a₂-2²=S₁=a₁=2，∴a₂=6．
n≥2時，a_n-2ⁿ=S_n-1，a_n+1-2ⁿ⁺¹=S_n，
兩式相減得 a_n+1-a_n-2ⁿ=a_n
即 a_n+1=2a_n+2ⁿ  （n≥2）
于是

an+1

2n+1

=

an

2n

+

1

2

即 b_n+1-b_n=

1

2

   n≥2
又b₁=

a1

2

=1，b2=

a2

22

=

3

2

，b₂-b₁=

1

2

，
所以數(shù)列{b_n}是首項為1，公差為0.5的等差數(shù)列．
（II）由（I）知，bn=1+(n-1)×

1

2

=

n+1

2

，
a_n=b_n2ⁿ=（n+1）2^n-1，
又n≥2時a_n-2ⁿ=S_n-1，S_n-1=（n-1）2^n-1，
∴S_n=n•2ⁿ
∴T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，…①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹…②
②-①可得
T_n=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題是中檔題，考查遞推關系式求解數(shù)列的通項公式，判斷數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列前n項和的求法，錯位相減法的應用，�？碱}型．