Question

若平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)M、N滿足條件：①M(fèi)、N都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②M、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)（M、N）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)“共生點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)（M、N）與（N、M）可看作同一個(gè)“共生點(diǎn)對(duì)”），已知函數(shù)f（x）=

x2-4x+5 x≥0 -2ln(-x) x＜0

則此函數(shù)的“共生點(diǎn)對(duì)”有

 

個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可根據(jù)條件，找出函數(shù)圖象位于y軸右側(cè)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線方程，用所得曲線與原函數(shù)在y軸左側(cè)的曲線交點(diǎn)，得到符合兩個(gè)條件的“共生點(diǎn)對(duì)”，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x2-4x+5 x≥0 -2ln(-x) x＜0

，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-2ln（-x），
則該段曲線關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：
y=-2lnx．
∵平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)M、N滿足條件：①M(fèi)、N都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②M、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)（M、N）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)“共生點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)（M、N）與（N、M）可看作同一個(gè)“共生點(diǎn)對(duì)”）
∴由方程組

y=x2-4x+5 y=-2lnx

的解的個(gè)數(shù)可知函數(shù)的“共生點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)．
即研究g（x）=x²-4x+5+2lnx，（x＞0）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
∵g′(x)=2x-4+

2

x

=

2(x-1)2

x

≥0，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
取x=e^-10，則g（x）=

1

e20

-

4

e10

+5-20＜0，
取x=1，則g（x）=1-4+5=2＞0，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
∴此函數(shù)的“共生點(diǎn)對(duì)”有1個(gè)．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象的對(duì)稱性和函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，還考查了新定義問題，本題難度適中，屬于中檔題．