已知函數(shù)f(x)=( x-1)2,數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,{bn}是公比為q(q∈R且q≠1)的等比數(shù)列,若a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q-1).
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)一切自然數(shù)n,均有
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn
bn
=an+1,求
lim
n→∞
S2n+1
S2n
的值.
分析:(Ⅰ)由題意知d2-(d-2)2=2d,解得d=2.所以an=2(n-1).再由
b3
b1
=q2
,知
f(q+1)
f(q-1)
=q2=
q2
(q-2)2
.由此能夠?qū)С鯾n=3n-1
(Ⅱ)由題設(shè)知
c1
b1
=a2
,c1=2.所以
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn-1
bn-1
+
cn
bn
=an+1
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn-1
bn-1
=an
,由此能夠推導(dǎo)出S2n+1,S2n
解答:解:(Ⅰ)∵a3-a1=2d,∴f(d+1)-f(d-1)=2d.
即d2-(d-2)2=2d,解得d=2.
∴a1=f(2-1)=0.∴an=2(n-1).
b3
b1
=q2
,∴
f(q-1)
f(q+1)
=q2=
(q-2)2
q2

∵q≠0,q≠1,∴q=-2.
又b1=f(q+1)=4,∴bn=4•(-2)n-1
(Ⅱ)由題設(shè)知
c1
b1
=a2
,∴c1=a2b1=8.
當(dāng)n≥2時(shí),
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn
bn
=an+1,
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn-1
bn-1
=an

兩式相減,得
cn
bn
=an+1-an=2

∴cn=2bn=2×3n-1(n≥2).
∴S2n+1=c1+c2+c3+…+c2n+1=8+2(3+32+…+32n)=8+
32n+1-3
3 -1
=32n+1+5.
即S2n=32n+1+5-2×32n=32n+5.
lim
n→∞
S2n+1
S2n
=
lim
n→∞
32n+1+5
32n+5
=3
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用,解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用,同時(shí)考查了數(shù)列的極限,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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