Question

在△ABC中，A，B，C是三內(nèi)角，當(dāng)sinC（cosAcosB+sinAsinB）-

3

cos（A+B）取得最大值時(shí)，則A=（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  5π

  12

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：由題意根據(jù)三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可得

cos2(A-B)+3

sin（A+B+φ）≤2sin（A+B+φ）≤2，從而解得A=B，由原式=2sin（2A-

π

3

）=2，結(jié)合角A的范圍即可得解．

解答： 解：原式=sin（A+B）cos（A-B）-

3

cos（A+B），再根據(jù)輔助角公式，
=

cos2(A-B)+3

sin（A+B+φ）≤2sin（A+B+φ）≤2．
當(dāng)且僅當(dāng)cos（A-B）=1取得最大，所以A=B，
此時(shí)，原式=2sin（A+B-

π

3

）=2sin（2A-

π

3

）=2，
從而可得：2A-

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，由A為三角形內(nèi)角，
即可解得：A=

5π

12

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了輔助角公式，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的最值，屬于基本知識(shí)的考查．