Question

【題目】如圖，正三棱柱中為的中點(diǎn)。

（1）求證：；

（2）若點(diǎn)為四邊形內(nèi)部及其邊界上的點(diǎn)，且三棱錐的體積為三棱柱體積的，試在圖中畫(huà)出點(diǎn)的軌跡，并說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，由為正三角形可得，又，從而可得平面，所以．在正方形中可證得，然后根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理得到平面，故得．（2）取中點(diǎn)，連接，則線(xiàn)段為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立．

解法一：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，

∵平面，平面，

∴．

∵為正三角形，為的中點(diǎn)，

∴，

又∵平面，，

∴平面，

又平面，

∴

在正方形中，可得，

∴，

又∵，

∴，故，

又，平面，

∴平面，

∵平面，

∴．

（2）取中點(diǎn)，連接，則線(xiàn)段為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．理由如下：

∵，平面，平面，

∴平面，

∴到平面的距離為．

∴．

故線(xiàn)段為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．

解法二：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，

∵為正三角形，為的中點(diǎn)，

∴．

∵在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

∴．

在正方形中，因?yàn)?/span>，

∴，

又，

∴，

∴，

又，平面，

∴平面，

又，

∴．

（2）取中點(diǎn)，連接，則線(xiàn)段為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．理由如下：

設(shè)三棱錐的高為，

依題意得，

∴．

∵分別為中點(diǎn)，

∴，

又平面，平面，

∴平面，

∴點(diǎn)到平面的距離為．

故線(xiàn)段為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．