Question

已知點(diǎn)C(1,0)，點(diǎn)A、B是⊙O：x²＋y²＝9上任意兩個不同的點(diǎn)，且滿足·＝0，設(shè)P為弦AB的中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)P的軌跡T的方程；
(2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點(diǎn)：它到直線x＝－1的距離恰好等于到點(diǎn)C的距離？若存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）x²－x＋y²＝4
（2）存在，(1，－2)和(1,2)

(1)連接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，
∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．
由垂徑定理知|OP|²＋|AP|²＝|OA|²，
即|OP|²＋|CP|²＝9．
設(shè)點(diǎn)P(x，y)，有(x²＋y²)＋[(x－1)²＋y²]＝9，
化簡，得到x²－x＋y²＝4．
(2)根據(jù)拋物線的定義，到直線x＝－1的距離等于到點(diǎn)C(1,0)的距離的點(diǎn)都在拋物線y²＝2px上，其中＝1，
∴p＝2，故拋物線方程為y²＝4x．
由方程組，得x²＋3x－4＝0，
解得x₁＝1，x₂＝－4，由于x≥0，
故取x＝1，此時y＝±2．
故滿足條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為(1，－2)和(1,2)．