Question

在平面直角坐標系中，原點O在以A，B為直徑的圓C外，O點到⊙C的切線長為l；
（Ⅰ）證明：l²=

OA

•

OB

；
（Ⅱ）若點A在拋物線y=x²+1上，點B在圓x²+（y-3）²=1，求l的最小值．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出C，l²=OC²-(

AB

2

)2化簡即可證明結論．
（Ⅱ）若點A在拋物線y=x²+1上，點B在圓x²+（y-3）²=1，利用（Ⅰ）求出l的表達式，利用不等式化簡，構造函數(shù)，通過函數(shù)的導數(shù)求出最小值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則C(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，…（2分）
l2=OC2-(

AB

2

)2=(

x1+x2

2

)2+(

y1+y2

2

)2-

1

4

[(x1-x2)2+(y1-y2)2]…（4分）
∴l(xiāng)²=x1x2+y1y2=

OA

•

OB

…（6分）
（Ⅱ）依題意y1=x12+1，x22+(y2-3)2=1
∴l2=x1x2+y1y2=x1x2+(x12+1)y2=y2(x1+

x2

2y2

)2+y2-

x22

4y2

…（8分）
≥y2-

1-(y2-3)2

4y2

=

5y2

4

+

2

y 2

-

3

2

(2≤y2≤4)…（10分）
設h(t)=

5t

4

+

2

t

(2≤t≤4)，
則h′(t)=

5

4

-

2

t2

＞0(2≤t≤4)
∴h(t)=

5t

4

+

2

t

在[2，4]是增函數(shù)；
∴h(t)min=h(2)=

7

2

…（12分）
∴lmin=

2

…（13分）

點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合應用，函數(shù)的導數(shù)的應用，綜合性比較強，考查分析問題解決問題的能力．