【題目】已知右焦點(diǎn)為F的橢圓C: + =1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)M(1, ),直線(xiàn)x=a與拋物線(xiàn)L:x2= y交于點(diǎn)N,且 = ,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線(xiàn)l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn).
①若直線(xiàn)l與x軸垂直,過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線(xiàn)PB交橢圓C于另一點(diǎn)E,證明直線(xiàn)AE與x軸相交于定點(diǎn);
②已知D為橢圓C的左頂點(diǎn),若l與直線(xiàn)DM平行,判斷直線(xiàn)MA,MB是否關(guān)于直線(xiàn)FM對(duì)稱(chēng),并說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:設(shè)N(a,y0),連接MN,由 = ,則OMNF為平行四邊形,則y0= ,

將M(1, )代入拋物線(xiàn)方程:解得:a=2,

將M(1, )代入橢圓方程: ,解得:b2=3,

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:


(2)解:①證明:由題意,直線(xiàn)PB的斜率存在,設(shè)直線(xiàn)PB的方程為y=k(x﹣4),B(x1,y1),E(x2,y2),

則A(x1,﹣y1), ,整理得:(3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0,

x1+x2= ,x1x2= ,①

則直線(xiàn)AE的方程為:y﹣y2= (x﹣x2),令y=0,x=x2 ,

由y1=k(x1﹣4),y2=k(x2﹣4),

∴x= ,

∴x=1,

∴直線(xiàn)AE與x軸相交于定點(diǎn)(1,0);

②由題意可知,直線(xiàn)MF的方程為x=1,則kOM= ,設(shè)直線(xiàn)l:y= x+n,(n≠1),

設(shè)A(x3,y3),B(x4,y4), ,整理得:x2+nx+n2﹣3=0,

△=n2﹣4×(n2﹣3)=12﹣3n2>0,即b∈(﹣2,2),且n≠1,

x3+x4=﹣n,x3x4=n2﹣3,

則kMA+kMB= + = +

=1+ + =1+ =1﹣ =0,

直線(xiàn)MA,MB關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)


【解析】(1)將由 = ,即可求得N點(diǎn)坐標(biāo),將M代入拋物線(xiàn)方程,即可求得a,代入橢圓方程,即可求得b的值,即可求得橢圓方程;(2)①設(shè)直線(xiàn)PB的方程,設(shè)B,E點(diǎn)坐標(biāo),將直線(xiàn)PB代入橢圓方程,求得直線(xiàn)AE的方程,利用韋達(dá)定理即可求得x的值,直線(xiàn)AE與x軸相交于定點(diǎn)(1,0);

②設(shè)直線(xiàn)l的方程,代入橢圓方程,由△>0,即可求得n的取值范圍,利用直線(xiàn)的斜率公式及韋達(dá)定理kMA+kMB=0,則直線(xiàn)MA,MB關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】若函數(shù)f(x)= sin(2x+φ)(|φ|< )的圖象關(guān)于直線(xiàn)x= 對(duì)稱(chēng),且當(dāng)x1 , x2∈(﹣ ,﹣ ),x1≠x2時(shí),f(x1)=f(x2),則f(x1+x2)等于(
A.
B.
C.
D.

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【題目】已知雙曲線(xiàn) =1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , P為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)(異于右頂點(diǎn)),△PF1F2的內(nèi)切圓與x軸切于點(diǎn)(2,0),過(guò)F2作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn),若使|AB|=b2的直線(xiàn)l恰有三條,則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是(
A.(1,
B.(1,2)
C.( ,+∞)
D.(2,+∞)

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【題目】某科技公司生產(chǎn)一種手機(jī)加密芯片,其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為:指標(biāo)大于或等于70為合格品,小于70為次品.現(xiàn)隨機(jī)抽取這種芯片共120件進(jìn)行檢測(cè),檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表:

測(cè)試指標(biāo)

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

芯片數(shù)量(件)

8

22

45

37

8

已知生產(chǎn)一件芯片,若是合格品可盈利400元,若是次品則虧損50元.
(Ⅰ)試估計(jì)生產(chǎn)一件芯片為合格品的概率;并求生產(chǎn)3件芯片所獲得的利潤(rùn)不少于700元的概率.
(Ⅱ)記ξ為生產(chǎn)4件芯片所得的總利潤(rùn),求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)+2sin2x(|φ|< )的圖象過(guò)點(diǎn)( , ).
(1)求函數(shù)f(x)在[0, ]的最小值;
(2)設(shè)角C為銳角,△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c,若x=C是曲線(xiàn)y=f(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸,且△ABC的面積為2 ,a+b=6,求邊c的長(zhǎng).

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【題目】已知向量 =(m,cos2x), =(sin2x,n),設(shè)函數(shù)f(x)= ,且y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)( , )和點(diǎn)( ,﹣2).
(Ⅰ)求m,n的值;
(Ⅱ)將y=f(x)的圖象向左平移φ(0<φ<π)個(gè)單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若y=g(x)的圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1,求y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間.

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A. ,
B. ,
C. ,
D. ,

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