Question

拋物線C的方程為y=ax²(a＜0)，過(guò)拋物線C上一點(diǎn)P(x₀，y₀)(x₀≠0)作斜率為k₁，k₂的兩條直線分別交拋物線C于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)兩點(diǎn)(P、A、B三點(diǎn)互不相同)，且滿足k₂+λk₁=0(λ≠0且λ≠-1).

(Ⅰ)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(Ⅱ)設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足=λ，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上.

Answer 1

解：(Ⅰ)由拋物線C的方程y= ax² (a＜0)得，

焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，準(zhǔn)線方程為y=.

(Ⅱ)證明：設(shè)直線PA的方程為y- y₀= k₁ (x- x₀)，

直線PB的方程為y- y₀=k₂(x- x₀)．

點(diǎn)P(x₀，y₀)和點(diǎn)A(x₁，y₁)的坐標(biāo)是方程組

的解．

將②式代入①式得ax²- k₁x+ k₁x₀-y₀=0，

于是x₁+ x₀=，故x₁=-x₀③

又點(diǎn)P(x₀，y₀)和點(diǎn)B(x₂，y₂)的坐標(biāo)是方程組

的解．

將⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x₀- y₀=0．

于是x₂+x₀=，故x₂=-x₀．

由已知得，k₂=-λk₁,則x₂=k₁- x₀.⑥

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x_M，y_M)，由，則x_M=．

將③式和⑥式代入上式得x_M==-x₀，即x_M+ x₀=0.

∴線段PM的中點(diǎn)在y軸上．