分析 (1)由橢圓過點(diǎn)P(0,√3),求得b=√3,由離心率公式及a2=b2+c2,即可求得a的值,即可求得橢圓的方程,求得直線PF的直線方程,代入橢圓方程,求得x1,x2,根據(jù)弦長公式即可求得|PM|;
(2)求得直線AP的方程,與BD的直線方程x=2聯(lián)立求D點(diǎn)坐標(biāo),即可求得圓心及半徑R,利用點(diǎn)到直線的距離公式,求得d=R,以BD為直徑的圓與直線PF相切.
解答 解:(1)∵橢圓過點(diǎn)P(0,√3),
∴b=√3,又e=12即ca=12即ca=12,a2=b2+c2,
故{a=2c=1,
∴橢圓方程為x24+y23=1
則F(1,0),P(0,√3),直線PF的方程為y=-√3(x-1),與橢圓方程聯(lián)立有{x24+y23=1y=−√3(x−1)
消去y得到5x2-8x=0,解得{x1=0x2=85 由弦長公式得|PM|=√1+k2|x1-x2|=165;
(2)證明:過A(-2,0),P(0,√3)的直線AP的方程為y=√32(x+2)
與BD的直線方程x=2聯(lián)立有D(2,2√3),
所以以BD為直徑的圓的圓心為(2,√3),半徑R=√3,
圓心到直線PF的距離d=|2√3+√3−√3|√(√3)2+1=√3=R
所以以BD為直徑的圓與直線PF相切.
點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用橢圓的離心率公式和橢圓的性質(zhì),考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,同時考查直線和圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式和相切的條件,屬于中檔題.
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x | 3 | 4 | 5 | 6 |
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