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11.已知橢圓x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率e=12,點(diǎn)P(0,3)在橢圓上,A,B分別為橢圓的左右頂點(diǎn),過點(diǎn)B作BD⊥x軸交AP的延長線于點(diǎn)D,F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn).
(1)求橢圓的方程及直線PF被橢圓截得的弦長|PM|;
(2)求證:以BD為直徑的圓與直徑PF相切.

分析 (1)由橢圓過點(diǎn)P(0,3),求得b=3,由離心率公式及a2=b2+c2,即可求得a的值,即可求得橢圓的方程,求得直線PF的直線方程,代入橢圓方程,求得x1,x2,根據(jù)弦長公式即可求得|PM|;
(2)求得直線AP的方程,與BD的直線方程x=2聯(lián)立求D點(diǎn)坐標(biāo),即可求得圓心及半徑R,利用點(diǎn)到直線的距離公式,求得d=R,以BD為直徑的圓與直線PF相切.

解答 解:(1)∵橢圓過點(diǎn)P(0,3),
∴b=3,又e=12ca=12ca=12,a2=b2+c2,
{a=2c=1,
∴橢圓方程為x24+y23=1
則F(1,0),P(0,3),直線PF的方程為y=-3(x-1),與橢圓方程聯(lián)立有{x24+y23=1y=3x1
消去y得到5x2-8x=0,解得{x1=0x2=85    由弦長公式得|PM|=1+k2|x1-x2|=165;
(2)證明:過A(-2,0),P(0,3)的直線AP的方程為y=32(x+2)
與BD的直線方程x=2聯(lián)立有D(2,23),
所以以BD為直徑的圓的圓心為(2,3),半徑R=3,
圓心到直線PF的距離d=|23+33|32+1=3=R
所以以BD為直徑的圓與直線PF相切.

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用橢圓的離心率公式和橢圓的性質(zhì),考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,同時考查直線和圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式和相切的條件,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓x2a2+y2b2=1ab0過點(diǎn)A(2,1),離心率為32
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線l:y=kx+m(k≠0)與橢圓相交于B,C兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A),線段BC被y軸平分,且AB⊥AC,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BCA=60°,AP=AC=AD=2,E為CD的中點(diǎn),M在AB上,且AM=2MB
(I)求證:EM∥平面PAD;
(Ⅱ)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值;
(Ⅲ) 點(diǎn)F是線段PD上異于兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn),若滿足異面直線EF與AC所成角45°,求AF的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.a(chǎn)、b、c依次表示函數(shù)f(x)=2x+x-2,g(x)=3x+x-2,h(x)=lnx+x-2的零點(diǎn),則a、b、c的大小順序?yàn)椋ā 。?table class="qanwser">A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.如圖,菱形ABCD的棱長為2,∠BAD=60°,CP⊥底面ABCD,E為邊AD的中點(diǎn).
(1)求證:平面PBE⊥平面BCP;
(2)當(dāng)直線AP與底面ABCD所成的角為30°時,求二面角A-PB-C的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=x3+ax+a.
(1)問:f(x)=0在(0,+∞)上有幾個實(shí)根?
(2)若F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.如表提供了甲產(chǎn)品的產(chǎn)量x(噸)與利潤y(萬元)的幾組對照數(shù)據(jù).
x3456
y2.5344.5
(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=x+a;
(2)計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2的值,并判斷線性模型擬合的效果.
參考公式:=ni=1xi¯xyi¯yni=1xi¯x2=ni=1xiyin¯x¯yni=1xi2n¯x2a=¯y-¯x,R2=1-ni=1yiyi2ni=1yi¯y2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.某奶茶店為了解白天平均氣溫與某種飲料銷量之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,記錄了2月21日至2月25日
的白天平均氣溫x(℃)與該奶茶店的這種飲料銷量y(杯),得到如表數(shù)據(jù):
平均氣溫x(℃)91112108
銷量y(杯)2326302521
(Ⅰ)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程ˆy=ˆx+ˆa
(Ⅱ) 試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測平均氣溫約為20℃時該奶茶店的這種飲料銷量.
(參考:ˆ=ni=1xiyin¯x¯yni=1xi2n¯x2,ˆa=¯y-ˆ¯x;9×23+11×26+12×30+10×25+8×21=1271,92+112+122+102+82=510)

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1.已知函數(shù)f(x)=|log3(x+1)|,實(shí)數(shù)m,n滿足-1<m<n,且f(m)=f(n).若f(x)在區(qū)間[m2,n]上的最大值為2,則mn=( �。�
A.-9B.-8C.-19D.-18

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