Question

根據(jù)下列關(guān)系，求各個數(shù)列{a_n}的通項公式：
（1）a₁=4，a_n+1=

n+1

n+3

 a_n；
（2）a₁=2，a_n-1-a_n=2a_na_n-1．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由a_n+1=

n+1

n+3

 a_n，可得

an+1

an

=

n+1

n+3

 ，利用疊乘法，可求數(shù)列的通項；
（2）取倒數(shù)，可得{

1

an

}是以

1

2

為首項，2為公差的等差數(shù)列，可求數(shù)列{a_n}的通項．

解答： 解：（1）∵a_n+1=

n+1

n+3

 a_n，
∴

an+1

an

=

n+1

n+3

 ，
∴a_n=a₁•

a2

a1

•…•

an

an-1

=4•

2

4

•

3

5

•…•

n

n+2

=

24

(n+1)(n+2)

；
（2）∵a_n-1-a_n=2a_na_n-1，
∴

1

an

-

1

an-1

=2，
∵a₁=2，
∴{

1

an

}是以

1

2

為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴

1

an

=

1

2

+2（n-1）=

4n-3

2

，
∴a_n=

2

4n-3

．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的判斷，考查疊乘法，正確選用求數(shù)列通項的方法是關(guān)鍵．