如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線的距離為.點(diǎn)M(t,1)是C上的定點(diǎn),A,B是C上的兩動(dòng)點(diǎn),且線段AB被直線OM平分.

(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面積的最大值.

(1)    (2)

解析解:(1)由題意知得
(2)由(1)知M(1,1),
直線OM的方程為y=x,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)為Q(m,m).
由題意知,
設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0).
由
得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,
故k·2m=1,
所以直線AB的方程為y-m=(x-m),
即x-2my+2m2-m=0.
由消去x,
整理得y2-2my+2m2-m=0,
所以Δ=4m-4m2>0,
y1+y2=2m,y1y2=2m2-m.
從而|AB|=·|y1-y2|=·.
設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d,
則d=.
設(shè)△ABP的面積為S,則
S=|AB|·d=|1-2(m-m2)|·.
由Δ=4m-4m2>0,得0<m<1.
令u=,0<u≤,則S=u(1-2u2).
設(shè)S(u)=u(1-2u2),0<u≤,則S′(u)=1-6u2.
由S′(u)=0,得u=∈,
因此S(u)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,
所以S(u)max=S=.
故△ABP面積的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，正方形CDEF內(nèi)接于橢圓，且它的四條邊與坐標(biāo)軸平行，正方形GHPQ的頂點(diǎn)G,H在橢圓上，頂點(diǎn)P，Q在正方形的邊EF上．且CD=2PQ=．

(1)求橢圓的方程；
(2)已知點(diǎn)M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m:≠0)，l交橢圓于A,B兩個(gè)不同點(diǎn)，求證：直線MA，MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí),求k的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知定點(diǎn)A(－2,0)和B(2,0)，曲線E上任一點(diǎn)P滿足|PA|－|PB|＝2.
（1）求曲線E的方程；
（2）延長(zhǎng)PB與曲線E交于另一點(diǎn)Q，求|PQ|的最小值；
（3）若直線l的方程為x＝a(a≤)，延長(zhǎng)PB與曲線E交于另一點(diǎn)Q，如果存在某一位置，使得從PQ的中點(diǎn)R向l作垂線，垂足為C，滿足PC⊥QC，求a的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

我校某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”來慶祝數(shù)學(xué)學(xué)科節(jié)的成功舉辦.其中、是過拋物線焦點(diǎn)的兩條弦，且其焦點(diǎn)，，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，記，其中為銳角．

（1）求拋物線方程；
（2）當(dāng)“蝴蝶形圖案”的面積最小時(shí)求的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,已知橢圓C:+y2=1(a>1)的上頂點(diǎn)為A,離心率為,若不過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),且·=0.

(1)求橢圓C的方程.
(2)求證:直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)N的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓E：＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)和x軸不重合的直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF|＋|BF|＝2，|AB|的最小值為2.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若圓x2＋y2＝的切線L與橢圓E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)橫坐標(biāo)不相等時(shí)，OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))與OQ是否垂直？若垂直，請(qǐng)給出證明；若不垂直，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：（）的焦距為，且過點(diǎn)（，），右焦點(diǎn)為．設(shè)，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的中垂線交橢圓于，兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)是，又點(diǎn)在橢圓上．
（1）求橢圓的方程;
（2）已知直線的斜率為，若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案