下列不等式對任意的x∈(0,+∞)恒成立的是


  1. A.
    ex>ex
  2. B.
    x-x2>0
  3. C.
    sinx>-x+1
  4. D.
    x>ln(1+x)
D
分析:要判斷一個不等式不是恒成立的,我們可舉一個使不等式不成立的反例即可,如當x=1時,A中ex>ex與中x-x2>0均不成立,也可以利用函數(shù)的圖象進行分析,如對C答案的判斷,當要說明不等式恒成立時,我們要助于函數(shù)思想或方程思想轉化為求函數(shù)的最值或利用函數(shù)的圖象或判別式的方法求解.
解答:當x=1時,ex=ex,故A中ex>ex對任意的x∈(0,+∞)不恒成立;
當x=1時,x-x2=0,故B中x-x2>0對任意的x∈(0,+∞)不恒成立;
又∵y=sin在(0,)上函數(shù)值由0遞增到1,
y=-x+1在(0,)上函數(shù)值由1遞減到1-,
故在區(qū)間(0,)上存在實數(shù)x使sinx=-x+1,故C中sinx>-x+1對任意的x∈(0,+∞)不恒成立;
而∵函數(shù)y=x-ln(1+x)的導函數(shù)y'=1-在x∈(0,+∞)有,y'>0恒成立
故y=x-ln(1+x)在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù),y>y|x=0=0,
故x>ln(1+x)對任意的x∈(0,+∞)恒成立
故選D
點評:解不等式恒成立問題,通常借助于函數(shù)思想或方程思想轉化為求函數(shù)的最值或利用函數(shù)的圖象或判別式的方法求解.
練習冊系列答案
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